I vettori sono dei segni grafici che servono ad indicare delle grandezze aventi:
– una direzione;
– un verso;
– un valore.
Questi vettori e quindi queste grandezze si devono poter sommare con il metodo del parallelogramma o quello del punta-coda che spiegherò qui sotto.
Le forze, ad esempio, sono delle grandezze vettoriali e vengono indicate con una freccia posta sul simbolo della forza e vengono sommate con il metodo punta-coda.
Operazioni con i vettori:
Somma
La somma, come detto poco sopra, può essere calcolata in due modi: metodo del parallelogramma e metodo punta-coda.
Consideriamo due vettori su un piano. Il primo metodo consiste nel traslare uno dei due vettori in modo che i due vettori abbiamo la stessa origine (naturalmente l’angolo fra i due non deve essere modificato). In seguito si tracciano due rette parallele ad entrambi i vettori in modo da completare il disegno del parallelogramma. La somma dei due vettori sarà un terzo vettore che ha la coda (il punto in cui ha origine) coincidente con la coda dei due vettori di partenza e la punta nel vertice opposto.
NB Per scomporre un vettore si fa il procedimento inverso: dal vettore risultante si tracciano parallele lungo le due direzioni definite precedentemente.
Il secondo metodo, ovvero il metodo punta-coda consiste sempre nel traslare uno dei due vettori, però stavolta i due vettori devono essere uno la sequenza dell’altro: la coda di uno deve coincidere con la punta dell’altro. La somma dei vettori sarà un vettore che ha la coda coincidenza con la coda del primo vettore e la punta coincidenza con la punta del vettore traslato.
NB Per effettuare la differenza fra due vettori si usa il metodo punta-coda ed il secondo vettore è preceduto da un segno meno (-).
Prodotto scalare
Il prodotto scalare tra due vettori a e b è uguale al prodotto dei loro moduli moltiplicato per il coseno dell’angolo compreso tra di essi.
ab = a * b * cosα
NB Per il prodotto scalare vale la proprietà commutativa. Quindi possiamo anche scrivere:
ba = b * a * cosα
Prodotto vettoriale
Il prodotto vettoriale tra due vettori a e b è un vettore che ha:
– direzione perpendicolare al piano che contiene i vettori a e b;
– verso dato dalla regola della mano destra (vedi sotto);
– modulo uguale all’area del parallelogramma generato dai vettori a e b.
L’area del parallelogrammo si calcola base per altezza. Se scegliamo come base il vettore a, l’altezza è data dalla componente del vettore b perpendicolare al vettore a (ba). Quindi:
modulo di a x b = a * ba
Se scegliamo come base il vettore b, l’altezza è data dalla componente del vettore a perpendicolare al vettore b (ab). Quindi:
modulo di a x b = b * ab
NB Per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa!
Se conosciamo l’angolo alfa formato dai due vettori il modulo del prodotto vettoriale possiamo anche scriverlo come:
modulo a x b = a * b * seno di α
NB Il prodotto scalare si indica accostando le lettere che indicano i due vettori (le quali dovrebbero avere una freccia su di esse), il prodotto vettoriale invece è indicato dal segno “x” fra le lettere indicanti i vettori (e anche queste dovrebbero avere una freccia verso destra su di esse).
NB Il prodotto scalare ha come risultato un numero.Il prodotto vettoriale ha come risultato un vettore.
Moltiplicazione
La moltiplicazione di un vettore avviene moltiplicando il vettore per il numero voluto. Questo numero, se negativo può cambiare il verso del vettore!
Regola della mano destra
La regola della mano destra ci permette di trovare il verso del vettore uscente da un piano (serve in particolar modo in elettromagnetismo).
Per trovare tale verso occorre posizionare pollice ed indice lungo le direzioni di due vettori (seguendone naturalmente il verso). Posizionando in modo perpendicolare il medio, esso indicherà il verso del vettore da lui indicato (che può essere sia entrante che uscente dal piano).
ATTENZIONE! Non riesci a calcolare una formula inversa? Inserisci la formula di partenza nel nostro TOOL! Tutte le inverse te le troviamo noi!
potete mettere anche i momenti?
Certamente!
Oltre a momento torcente e momento angolare ha bisogno di altri chiarimenti?
i moduli???
Il modulo di un vettore sarebbe il valore numerico della lunghezza del vettore stesso. Esempio:
Abbiamo un vettore v = 5m/s in un grafico spazio – tempo.
Il modulo di tale vettore e’ 5.
come si calcola l’angolo avendo il prodotto vettoriale?
Come scritto nella formula nell’articolo, modulo prodotto vettoriale a x b = a*b*sen(alpha). Avendo quindi il prodotto e la lunghezza dei vettori, alpha = arcoseno((a x b)/(a*b)).
come si calcolano le componenti ar e as di un vettore a che è lungo 18 u e forma due angoli di 45 e 30 gradi con le rette r e s?
Ehi Ciao! Purtroppo qui mi viene impossibile spiegare con i disegni, per quello preferisco quando mi scrivete su Telegram come consigliato dalla pagina contatti, ma ci provo. Chiamiamo c il vettore di 18u, a il lato del triangolo opposto all’angolo di 45 e b quello opposto all’angolo di 30.
L’altezza del triangolo chiamiamola x. Notiamo che tracciando l’altezza del triangolo, avremo un sotto-triangolo isoscele con ipotenusa b e cateti x ed x (dimostrazione facilmente fattibile se consideriamo gli angoli di 45 gradi). L’altro sotto triangolo invece avrà ipotenusa a, cateto minore x e cateto maggiore 18-x.
Avremo: a*sin(30) = x. E sappiamo che a*sin(60) = 18-x.
Da questo sistema possiamo trovare a ed x, di conseguenza anche b.
Spero di essere stato abbastanza chiaro, altrimenti resto sempre a disposizione!