Due … Gemelli del cinema! (fonte: Wikipedia)

In molti avranno sentito parlare del paradosso dei gemelli come uno dei più grandi problemi della relatività. Le voci su questo paradosso hanno accresciuto le sue dimensioni portandolo al livello di un problema insormontabile, punto oscuro della relatività. Ho sentito addirittura qualcuno dire che questo problema renda la relatività sbagliata e per questo doveva essere cambiata… che pessimisti!

Quanto segue lo potete anche trovare in questa pagina.

Un po’ di storia.

Uno dei supporter di questo paradosso è stato un filosofo inglese, Herbert Dingle. A questo signore rispose lo stesso Einstein, sostenuto da Bohr, che tentarono di spiegare qual era l’errore basilare in questo paradosso e come poteva essere risolto. Dingle, non contento, continuò a pressarli ritenendo non sufficienti le risposte sul paradosso e i giornali, inizialmente interessati a questa diatriba, presto si stancarono smettendo di pubblicare questi battibecchi, suscitando le ire di Dingle che addirittura parlò di comploto ai suoi danni.

In cosa consiste il Paradosso dei Gemelli?

Questo paradosso vede come protagonisti due gemelli, appunto, dei quali uno è riuscito a diventare astronauta e viene imbarcato su una navicella in grado di arrivare a velocità prossime a quelle della luce (per semplicità prendiamo un numero netto che ci semplifica i calcoli, ) diretta verso un sistema stellare lontano 8 l.y. (l.y.=light year=anno luce). In molti credono che il paradosso consista nel fatto che la relatività preveda che, al ritorno del gemello astronauta, siccome per lui sarà passato meno tempo, questo sarà più giovane di quello rimasto a terra. Se così fosse non ci sarebbe nessun paradosso perché è esattamente ciò che accade. Il fraintendimento nasce dalla poco intuitiva caratteristica del rallentamento degli orologi che si muovono rispetto a noi, ma non per questioni meccaniche, ma per questioni squisitamente fisiche, legate alla struttura dello spazio e del tempo, mentre chi ha poca familiarità con questi argomenti ha ancora una cognizione di tempo di tipo newtoniano, immutabile e che scorre allo stesso modo per tutti, indipendentemente da come si muovano.

Il paradosso, invece, pone un’altra domanda: dicevo che la relatività introduce la caratteristica della dilatazione temporale, quindi dalla terra, il gemello “vedrà” gli orologi dell’astronave muoversi più lentamente di quelli a terra, e viceversa, il gemello sull’astronave “vedrà” gli orologi a terra muoversi più lentamente. Guardiamo il primo caso: se è vero che gli orologi dell’astronave si muovono più lentamente di quelli a terra, tra i due gemelli, quello nell’astronave invecchierà più lentamente, quindi al suo ritorno risulterà più giovane di quello a terra. Al contrario, nel secondo caso, sono gli orologi a terra a muoversi più lentamente, e quindi sarà il gemello a terra a invecchiare più lentamente, risultando più giovane dell’astronauta al ritorno di quest’ultimo.
Dov’è la verità? Sarà più vecchio il gemello a terra o quello che ha viaggiato?

Soluzione.

Tenterò di risolvere il problema dal punto di vista della relatività ristretta.
La chiave per risolvere il problema sta nel capire l’errore di fondo: la relatività ristretta considera sistemi inerziali (per la definizione di sistemi inerziali meglio darci appuntamento in un altro articolo) e quello dell’astronave non lo è affatto. Infatti prima accelera per partire, poi si muove ad una velocità costante pari a 0.8 volte la velocità della luce, poi frena quando arriva sull’obiettivo, inverte la direzione, accelera di nuovo e, arrivato a casa, rallenta fino a fermarsi. Gli effetti dovuti alle accelerazioni dovranno essere considerati, quindi, in una teoria che non sia la relatività ristretta. In questo caso ci aiuta la relatività generale, che comprende, appunto, fenomeni dovuti alla non inerzialità dei sistemi di riferimento e alla gravitazione (questi due aspetti, in questa teoria, sono in qualche modo collegati). L’effetto netto delle accelerazioni dell’astronave, all’interno della teoria della relatività generale, è quello di creare un rallentamento degli orologi, ma non andrò a spiegare nei dettagli perché (vi basti sapere che un’accelerazione è trattabile come se fosse l’effetto di un campo gravitazionale e questo genera una dilatazione dei tempi).
Nel tentativo di rendere la trattazione più semplice, per quanto possibile, eviteremo l’uso della relatività generale a favore della più semplice teoria ristretta. Faremo questo assumendo che le accelerazioni e le decelerazioni saranno istantanee. È ovvio che questa trattazione potrà fornirci solo valori approssimati per la soluzione al problema, ma, quanto meno, sarà in grado di spiegarci cosa accade in maniera qualitativa.

Gli effetti che andremo a considerare sono la dilatazione temporale e la contrazione delle lunghezze. Non spiegherò in dettaglio perché questi effetti siano reali, magari lo farò un’altra volta, ma dovete sapere che sono dirette conseguenze dei postulati della relatività ristretta, cioè di quel numero di fatti, ritenuti veri ma non dimostrati (anche se concordanti con la realtà), sui quali si fonda la teoria, una sorta di regole del gioco, cose che vanno accettate e grazie alle quali si può andare avanti (per i maliziosi, il fatto che non siano dimostrabili matematicamente non vuoi dire che non siano falsificabili, visto che è sempre possibile eseguire esperimenti diretti o indiretti sulle conseguenze dei postulati o sui postulati stessi, e se così non fosse non stiamo parlando di fisica).

Innanzi tutto mettiamo su un po’ di definizioni, così da snellirci la notazione.
Definiamo:


Nel nostro caso, quindi, abbiamo:

Ora, supponiamo di prendere una bacchetta lunga e mettiamola su un razzo in modo che la sua lunghezza sia nella direzione di moto del razzo, che partirà da noi e si muoverà in linea retta. Se potessimo misurare la lunghezza della bacchetta mentre si sta muovendo, troveremo che la sua lunghezza è pari a:

Ora, invece, supponiamo che sullo stesso razzo ci sia un orologio e ci chiediamo in quanto tempo questo orologio coprirà un tempo (no, non è una domanda strata, normalmente diremmo che l’orologio segnerà un tempo in un tempo , ma in relatività le cose sono un po’ differenti). L’orologio segnerà un tempo quando per noi sarà passato un tempo pari a:

Ora arriviamo ad un punto fondamentale della dimostrazione, che ci permette di capire anche quel è l’errore del paradosso, oltre a dimenticare le fasi di accelerazione e decelerazione. Dovremo considerare tutta la faccenda rispetto a tre punti di vista:

1. Rispetto al gemello rimasto a terra;
2. Rispetto al gemello sull’astronave mentre si allontana da casa;
3. Rispetto al gemello sull’astronave mentre ritorna a casa.

Vediamo il primo caso:

l’astronauta, per andare e tornare, impiegherà un tempo pari a:

avendo indicato con la distanza, vista da terra, coperta in andata e ritorno dall’astronave, cioè , e dove quel sta ad indicare il fatto che noi stiamo considerando il tempo trascorso sull’astronave come vista da terra, non come visto dall’astronave.
Quanto tempo sarà passato sull’astronave? Per saperlo dobbiamo prendere la formula che abbiamo introdotto prima e rigirarla, perché noi conosciamo già , il tempo a terra, ora vogliamo conoscere quello sull’astronave guardandolo da terra, cioè :

Ora vediamo il secondo caso, valido solo per la prima metà del viaggio:

io mi trovo sull’astronave e viaggio ad una velocità di 0.8 volte la velocità della luce. Per me la distanza che dovrò coprire non è 8ly ma, a causa della contrazione spaziale:

che coprirò in:

Ultimo caso, valido solo per la seconda metà:

ripetendo gli stessi calcoli fatti per il secondo caso, ottengo di nuovo che per tornare a casa dovrò impiegare 6 anni.

Quindi, come vedete non c’è paradosso: è vero che, al ricongiungimento dei due gemelli, per quello a terra saranno passati 20 anni, ma entrambi saranno d’accordo che per l’astronauta saranno passati solo 12 anni e quindi sarà invecchiato di meno del gemello rimasto a terra.