La locomotiva a vapore trasformata da Doc per il viaggio nel tempo. fonte: Wikipedia

In questo articolo avevamo proposto uno dei paradossi che sono stati proposti per la teoria della relatività ristretta. Riassumendo brevemente, abbiamo un treno che deve passare attraverso un tunnel. Se il treno fosse fermo al centro del tunnel, troveremmo che tunnel e treno hanno la stessa lunghezza, quindi potremmo montare delle ghigliottine alle due uscite del tunnel (nel nostro racconto erano degli schermi laser, per dare un’impronta più fantascientifica) che, scattando, non riuscirebbero a tagliare il treno.

Se il treno si muove, secondo la relatività ristretta, un osservatore fermo nel tunnel vedrebbe la lunghezza del treno contrarsi di un fattore $1/\gamma=\sqrt{1-\beta^2}=\sqrt{1-(\frac{v}{c})^2}$ , con $v$ la velocità del treno e $c$ la velocità della luce. Abbiamo anche fatto due conti ed abbiamo visto che il treno sarebbe comunque salvo, perché, quando le ghigliottine scattano, il treno sarebbe all’interno del tunnel.

D’altra parte avevamo avanzato il dubbio che, sedendoci all’interno del treno, potevamo correre qualche pericolo. Infatti, questa volta, è la lunghezza del tunnel a contrarsi dello stesso fattore, diventando, quindi più corta del treno, e l’unica possibilità sembrerebbe quella di avere il treno completamente fuori dal tunnel prima che le ghigliottine scattino, ma questo implicherebbe, per come abbiamo costruito il problema nella nostra storia, che il treno viaggi a velocità superiori a quelle della luce.

Ricordo, infine, come funzionava il meccanismo di attivazione delle ghigliottine:

sul treno, in una particolare posizione che calcoleremo, sarà installata un’antenna che, toccando un dispositivo al centro del tunnel, invia due fotoni, uno verso l’entrata, l’altro verso l’uscita del tunnel, i quali, arrivati su appositi rivelatori alle estremità del tunnel, attivano i due schermi laser (per semplicità supponiamo che l’emissione dei fotoni e l’attivazione degli schermi sia istantanea, così l’unico intervallo temporale da tenere in considerazione sarà quello relativo al volo dei fotoni). Inoltre gli schermi saranno attivi solo per un istante. In questo modo, se il treno si trova nella posizione relativa ad uno degli schermi viene tagliato, altrimenti non c’è modo che gli schermi possano interferire con il suo viaggio.

Siamo, quindi, pronti a risolvere questo problema:

Le possibilità sono due:

Così come abbiamo fatto analizzando il caso di un osservatore solidale con il tunnel, analizzare il problema, ed in particolare l’attivazione delle ghigliottine e dove e quando queste si trovino, rispetto al treno mettendoci nei panni di un osservatore solidale con il treno;
Considerare gli eventi importanti del problema come calcolati per l’osservatore solidale con il tunnel, e trasformarli nel sistema del treno tramite le trasformazioni di Lorentz.

Benché il secondo risulti decisamente più breve del primo metodo, credo che quest’ultimo possa aiutare a capire meglio il problema e quale sia l’errore commesso dagli oppositori all’attrazione della nostra storia.

Risoluzione del problema con il primo metodo.

Nel primo articolo, avevamo calcolato quanto deve essere spostata in avanti l’antenna sul treno perché, allo scattare delle ghigliottine, secondo la meccanica classica, il treno si trovi al centro del tunnel. Avevamo chiamato questo spostamento
$\Delta=\frac{L}{2}\beta$ ,
dove $L$ è la lunghezza del treno (e del tunnel) a riposo. Rispetto al centro del treno, quindi, quando l’antenna emetterà i due fotoni che andranno ad attivare le ghigliottine, le due entrate del tunnel, quella anteriore e quella posteriore rispetto al treno, saranno alle distanze
$x_{A,0}=\Delta+\frac{L}{2\gamma}=\frac{L}{2}(\beta+\sqrt{1-\beta^2})$ ,
$x_{P,0}=\Delta-\frac{L}{2\gamma}=\frac{L}{2}(\beta-\sqrt{1-\beta^2})$ ,
rispettivamente. Per alcuni valori di $\beta$ , $x_{P,0}$ potrebbe essere negativo. Questo vorrebbe dire che si trova dietro il centro del treno.

Ora dobbiamo fare una considerazione:
immaginiamo che fuori dal treno due uomini sparino con una pistola parallelamente al treno, uno nello stesso verso del moto del treno, l’altro nel verso opposto. Secondo la meccanica classica, una persona che guardi la scena dal treno, vedrà la pallottola che viaggia nello stesso verso del treno muoversi ad una velocità inferiore rispetto all’altra, semplicemente perché, nel primo caso, treno e pallottola si muoveranno nella stessa direzione, mentre nel secondo caso in direzioni opposte. Tenendo questo in mente, qualcuno potrebbe pensare che valga lo stesso per la luce, ossia che il fotone che si muove nello stesso verso del moto del treno sarà visto, dal treno, muoversi più lentamente rispetto all’altro. Questo non è vero! Infatti la relatività poggia sull’assioma della invarianza della velocità della luce nel vuoto in tutti i sistemi di riferimento inerziale. Un assioma è un’asserzione accettata ma non dimostrata, che funge da punto di partenza per la creazione di una teoria che deve essere confrontata con le osservazioni. In fisica, se l’assioma non corrispondesse alla realtà l’intera teoria ne risentirebbe, ottenendo risultati diversi rispetto a quanto si potrebbe osservare dagli esperimenti. La relatività, sia ristretta che generale, almeno finora, tiene molto bene, e questo ci dice che l’assioma dell’invarianza della velocità della luce, quanto meno entro la sensibilità degli esperimenti e delle misure, tiene.

Ritornando al nostro problema, quindi, a differenza del caso dei proiettili, un osservatore nel treno vedrà i due fotoni viaggiare verso le due estremità del tunnel con la solita velocità $c$ (stiamo supponendo che, com’è nella realtà, l’influenza dell’aria non sia così grande da dar problemi). Calcoliamo, quindi, quanto tempo impiegano ad arrivare alle estremità.

Dalla cinematica, sappiamo che il fotone che viaggia in avanti rispetto al treno impiegherà, per arrivare all’entrata del tunnel, un tempo $T_A$ tale che
$\Delta+cT_A=x_{A,0}-vT_A\Rightarrow T_A=\frac{L}{2(c+v)}\sqrt{1-\beta^2}=\frac{L}{2c}\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta}$ .

Per l’altro fotone, invece, si ha
$\Delta-cT_P=x_{P,0}-vT_P\Rightarrow T_P=\frac{L}{2(c-v)}\sqrt{1-\beta^2}=\frac{L}{2c}\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta}$ .

Siccome $\beta$ , per definizione, è una quantità non negativa minore di 1, deve essere $T_P\geq T_A$ , come ci potevamo aspettare.

A questo punto, vogliamo sapere a che distanza dal centro del treno si trovano le due entrate quando scattano le rispettive ghigliottine. Per l’entrata anteriore abbiamo
$x_{A,1}=x_{A,0}-vT_A=\frac{L}{2}(\beta+\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta})$ .

Questa quantità può essere minore o maggiore della lunghezza di metà treno. Nel primo caso, la ghigliottina taglia il treno, nel secondo caso potrebbe salvarsi (e dovremo calcolare cosa fa l’altra ghigliottina). Supponiamo, per assurdo, che la ghigliottina tagli e verifichiamo che incontriamo una contraddizione.

Stiamo, quindi, supponendo che
$x_{A,1}=\frac{L}{2}(\beta+\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta}) < \frac{L}{2}\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\beta+\frac{\sqrt{1-\beta^2}(1+\beta)-\beta\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} < 1\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta} < 1-\beta\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\sqrt{1-\beta^2}<1-\beta^2\Rightarrow 1<\sqrt{1-\beta^2}$ ,
ma questo è falso perché, per definizione, $\sqrt{1-\beta^2}$ non può essere maggiore di uno. Di conseguenza, ritornando all’inizio, dovremo negare la nostra ipotesi, ottenendo che $x_{A,1}>\frac{L}{2}$ , ossia che la ghigliottina scatta prima che il treno esca dal tunnel.

Ci rimane, quindi, solo da provare che anche per la ghigliottina posteriore non ci siano problemi. Anche in questo caso si utilizza una deduzione simile. Infatti, calcoliamo dove si trova, rispetto al centro del treno, l’entrata posteriore del tunnel quando scatta la relativa ghigliottina
$x_{P,1}=x_{P,0}-vT_P=\frac{L}{2}(\beta-\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta})$ .

Come prima, abbiamo due casi, cioè che questo punto si trovi prima o dopo l’estremità posteriore del treno, ossia che il treno sia salvo oppure no. Procediamo ancora una volta per assurdo assumendo che il treno venga tagliato
$x_{P,1}=\frac{L}{2}(\beta-\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta})>-\frac{L}{2}\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow \beta-\frac{\sqrt{1-\beta^2}(1-\beta)+\beta\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta}>-1\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow \frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\beta}<1+\beta\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow \sqrt{1-\beta^2}<1-\beta^2\Rightarrow 1<\sqrt{1-\beta^2}$ ,
concludendo, esattamente come nel caso anteriore, che l’assunto porta ad un risultato che contraddice la definizione di $\beta$ , per cui l’entrata posteriore deve trovarsi in un punto dietro l’estremità posteriore del treno allo scatto della ghigliottina, cioè il treno non viene tagliato.

Ricapitolando, analizzando il problema nelle vesti di un osservatore seduto nel treno, troveremo che le ghigliottine non scattano contemporaneamente in questo sistema (questo non è un problema, visto che il concetto di simultaneità non è universalmente valido, ossia che due eventi simultanei in un sistema possono non esserlo in un altro) e che questo permette al treno di salvarsi, evitando entrambe le ghigliottine.

Risoluzione del problema con le trasformazioni di Lorentz

Per il secondo metodo, la storia è un po’ diversa. Quello che faremo è considerare alcuni eventi importanti (per evento si intende un punto nello spazio-tempo, ossia una coppia posizione-tempo), come visti da un osservatore solidale al tunnel, e trasformarli nel sistema dell’osservatore fermo nel treno. Inoltre, a differenza del caso precedente, considereremo il nostro sistema di riferimento al centro del tunnel (nel primo metodo l’abbiamo centrato al centro del treno).

In particolare, gli eventi che ci interessano e le relative coordinate spazio-temporali sono:

Posizione dell’uscita anteriore allo scatto delle ghigliottine
$\mathbf{x_{tu,A}}=(cT,L/2)$
Posizione dell’uscita posteriore allo scatto delle ghigliottine
$\mathbf{x_{tu,P}}=(cT,-L/2)$

avendo preso i risultati del primo articolo ed avendo inserito le coordinate temporali moltiplicate per la velocità della luce, come si è soliti fare in relatività per questioni che non sto qui a spiegare (forse lo farò in altri casi).

La posizione della testa e della coda del treno nel sistema del treno stesso sarà uguale in ogni istante (il treno è fermo rispetto a se stesso ed agli osservatori seduti in esso), quindi, per semplicità, consideriamo la posizione delle estremità del treno nel momento in cui vengono emessi i fotoni, che corrisponde al nostro tempo 0
$\mathbf{x_{tr,A}}=(0,\frac{1}{\gamma}(\frac{L}{2}-\Delta))$ ,
$\mathbf{x_{tr,P}}=(0,-\frac{1}{\gamma}(\frac{L}{2}+\Delta))$ .

Ora, quindi, dobbiamo trasformare gli eventi relativi al tunnel nel sistema del treno ed osservare quali sono le posizioni relative. Questa trasformazione viene effettuata tramite le trasformazioni di Lorentz che ricordiamo essere
$ct'=\gamma(ct-\beta x)$ ,
$x'=\gamma(x-\beta ct)$ .

Quindi, non ci rimane che calcolare.

Per l’uscita anteriore del tunnel:
$x'_{tu,A,0}=\gamma(cT-\beta\frac{L}{2})=\gamma\frac{L}{2}(1-\beta)=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}}$
$x'_{tu,A,1}=\gamma(\frac{L}{2}-\beta cT)=\gamma\frac{L}{2}(1-\beta)=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}}$ .

Notate che le due coordinate sono uguali. Il motivo è che il sistema che stiamo considerando è centrato sulla sorgente dei fotoni ed il punto che abbiamo considerato coincide con il loro arrivo sui rivelatori.

Per l’uscita posteriore del tunnel:
$x'_{tu,P,0}=\gamma(cT+\beta\frac{L}{2})=\gamma\frac{L}{2}(1+\beta)=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}$
$x'_{tu,P,1}=\gamma(-\frac{L}{2}-\beta cT)=-\gamma\frac{L}{2}(1+\beta)=-\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}$ .

Come prima, a meno del segno, le due coordinate sono uguali, per lo stesso motivo. Notiamo, inoltre, che, mentre nel sistema del tunnel i due eventi erano simultanei, ora non lo sono più a dimostrazione che, come dicevamo più sopra, la condizione di simultaneità di due eventi non è universale.

Notiamo che la lunghezza del tunnel è
$x'_{tu,A,1}-x'_{tu,P,1}=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}}+\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1+\beta}}{\sqrt{1-\beta}}=\frac{L}{2}\frac{1-\beta+1+\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}=\gamma L$ ,
come ci aspettavamo.

Per la testa del treno calcoliamo solo la posizione, È infatti inutile sapere a quale tempo corrisponde l’evento che stiamo prendendo in considerazione per la testa del treno, visto che questa, nel sistema del treno, non si muove:
$x'_{tr,A,1}=\frac{L}{2}(1-\beta)$ ,
mentre per la coda abbiamo
$x'_{tr,P,1}=-\frac{L}{2}(1+\beta)$ ,
avendo esplicitato $\Delta$ .

Non ci rimane altro che confrontare la posizione della testa del treno con l’evento dello scatto della ghigliottina anteriore e quella della coda del treno con l’evento dello scatto della ghigliottina posteriore.

In realtà, abbiamo già fatto questi confronti. Infatti, notiamo che
$\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1-\beta}}{\sqrt{1+\beta}}=\frac{L}{2}\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta}=\frac{L}{2}(\frac{\sqrt{1-\beta^2}(1+\beta-\beta)}{1+\beta})=\frac{L}{2}(\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta})$ ,
e, quindi, chiedersi se questa quantità sia minore della distanza della testa del treno dall’antenna, $\frac{L}{2}(1-\beta)$ , vuol dire
$\frac{L}{2}(\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta})<\frac{L}{2}(1-\beta)\Rightarrow\,$
$\,\Rightarrow\frac{L}{2}(\beta+\sqrt{1-\beta^2}-\beta\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1+\beta})<\frac{L}{2}$ ,
relazione che abbiamo già esaminato con il metodo precedente trovandola falsa, conducendoci alla negazione dell’ipotesi, ossia confermandoci che la testa del treno si trova all’interno del tunnel allo scatto della ghigliottina.

Un procedimento analogo porta anche alla conclusione che, allo scatto della ghigliottina posteriore, la coda del treno deve essere all’interno del tunnel.

In conclusione, quindi, anche questo metodo, più veloce del precedente ma forse meno intuitivo, mostra che il treno si salva.

Qualche animazione.

Ed ora proviamo ad inserire qualche immagine che ci aiuti a capire meglio.

Utilizzando Sage, ho messo giù un po’ di conti, considerando un treno che viaggi all’80% della velocità della luce ed un treno ed un tunnel lunghi, da fermi, 1000 m. Considerando questi dati, un osservatore fermo rispetto al tunnel vedrà una situazione del genere

Treno relativistico - Osservatore in tunnel

Cosa vedrebbe un osservatore fermo rispetto al tunnel nel nostro problema. In blu il treno, i punti neri sono le entrate del tunnel, quelli gialli i fotoni per l’attivazione delle ghigliottine.

Invece, un osservatore fermo nel treno, vedrebbe qualcosa del genere

Treno relativistico - Osservatore in treno

Cosa vedrebbe un osservatore fermo rispetto al treno nel nostro problema. In blu il treno, i punti neri sono le entrate del tunnel, quelli gialli i fotoni per l’attivazione delle ghigliottine.

I valori sugli assi di entrambe le immagini sono in metri (anche quelli relativi ai tempi, visto che stiamo considerando i tempi moltiplicati per la velocità della luce).

Qui potete scaricare il sorgente che ho scritto per creare queste animazioni.

Notiamo, quindi, proprio quello che abbiamo trovato, ossia:

Il treno, nella prima immagine, è più corto del tunnel a causa del fenomeno della contrazione delle lunghezze;
Il tunnel, nella seconda immagine, è più corto del treno a causa del fenomeno della contrazione delle lunghezze;
Il treno, dal punto di vista dell’osservatore nel tunnel, si salva perché è completamente dentro quando scattano le ghigliottine;
Il treno, dal punto di vista dell’osservatore nel treno, si salva perché la ghigliottina anteriore scatta prima che il treno arrivi, mentre quella posteriore scatta dopo che il treno sia passato;
Le attivazioni delle ghigliottine, che nel primo caso erano eventi simultanei, non lo sono più nel secondo caso.

Perché questo treno sembra un paradosso?

Infine un’ultima domanda: dov’era l’errore del comitato? Perché il loro ragionamento portava ad un risultato errato?

La risposta è semplice. Tener presente il fenomeno della contrazione delle distanza (o della dilatazione dei tempi, che qui non compare) è giusto ma non è abbastanza. Va infatti considerato che il concetto di simultaneità non è universale, ossia che due eventi simultanei in un sistema di riferimento non lo sono in un altro. In questo caso non serviva sapere solo quanto era lungo il treno rispetto al tunnel e viceversa, ma anche sapere quando scattano le ghigliottine e, quando scattano, dove si trova il treno. Quindi, l’aspetto che ci ha tratti, e spesso trae, in inganno è la condizione di simultaneità che, ripeto ancora, benché sia rispettata nel sistema del tunnel, non lo è più in quello del treno.

Paradosso con Treno Relativistico – Parte 2

Risoluzione del problema con il primo metodo.

Risoluzione del problema con le trasformazioni di Lorentz

Qualche animazione.

Perché questo treno sembra un paradosso?

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