Forze Fittizie: Cosa Sono e Che Effetti Hanno?

Tutta colpa delle forze fittizie! fonte: www.alvolante.it

Prima di cominciare, vorrei segnalarvi un’altra pagina di questo stesso sito per avere delle infarinature su concetti e formule fondamentali: Sistemi di riferimento.

Domande: perché quando siamo in macchina e freniamo siamo spinti verso la parte anteriore? E perché quando acceleriamo ci sentiamo schiacciati contro il sedile? Perché in curva siamo lanciati da un lato o dall’altro? Cosa sono queste forza e cosa le causa? Proviamo a rispondere!

In realtà, in quanto segue spiegheremo da dove escono le accelerazioni relative alle forze fittizie (dette anche apparenti). Il motivo è che le due quantità, come ci dice il Secondo Principio della Dinamica, sono proporzionali e le accelerazioni che stanno alla base delle forze fittizie sono causate, come vedremo, da accelerazioni del sistema di riferimento che stiamo considerando.

Per prima cosa dobbiamo spiegare un concetto molto importante in fisica, forse uno dei più importanti: quello di sistema di riferimento inerziale.

Sistemi di Riferimento

Cos’è un sistema di riferimento è facile immaginarlo: è un insieme di riferimenti che ci permette di misurare dove si trovi un punto e quando. Ad esempio, un sistema di riferimento può essere la nostra camera, con l’aggiunta di un metro e di un orologio che ci permettano di misurare le distanze da uno spigolo ed il tempo. Ma può anche essere l’abitacolo di un auto o, in altri contesti, il sistema solare, la galassia, purché definiamo un modo per misurare le distanze da un punto ed i tempi.

Sistemi inerziali

Un sistema di riferimento inerziale è una particolare classe di sistemi di riferimento in cui vale una particolare circostanza: se un oggetto è lasciato fermo in una posizione o in moto con una data velocità, in assenza di forze o nel caso la somma delle forze sull’oggetto si annulli, l’oggetto deve rimanere fermo o rimanere in moto con la stessa velocità. In altri termini, gli oggetti in questo sistema devono rispettare quello che si chiama il Primo Principio della Dinamica. Inoltre sono inerziali tutti quei sistemi che si muovono in linea retta e con la stessa velocità (si dice “di moto rettilineo uniforme”) rispetto ad un sistema inerziale.

Una definizione di questo tipo sembra dirci tutto, sembra dirci effettivamente come riuscire a riconoscere un sistema inerziale da uno che non lo è. Purtroppo la realtà fisica è ben diversa, perché tutti i sistemi che conosciamo hanno un loro grado di non inerzialità. In effetti, la stessa definizione di sistema inerziale è stata oggetto di lunghi e complessi dibattiti, anche di stampo filosofico, che qui non riporterò.

Come definirli?

Nella realtà, quello che si fa quando si dichiara che un sistema è inerziale è sottintendere che lo sia nei limiti dei nostri scopi. Mi spiego meglio: la Terra non è un sistema inerziale, infatti ruota su se stessa, si muove intorno al Sole, segue l’orbita del sistema solare attorno al centro della nostra Galassia, della quale segue la dinamica nell’Universo. Ma se mettiamo una pentola sul fornello, la pentola rimane lì, non si muove da nessuna parte, quindi non abbiamo evidenza della non inerzialità della Terra in questo conteso.

In altri casi, invece, non è così. Infatti, ad esempio, il pendolo di Foucault ci mostra che la Terra ruota su se stessa, ed è questa la causa della rotazione del piano di oscillazione. Per dimostrare il suo moto, quindi, si fa riferimento ad un sistema di riferimento che non ruota o, se visto da noi che abitiamo la Terra, che ruota in senso opposto al suo moto di rotazione. Questo sistema risulta “un po’ più inerziale” del precedente, ma potrebbe non bastare. Allora, ad esempio, prendiamo un sistema di riferimento con origine nel Sole e gli assi puntati in tre direzioni particolari, ma potrebbe non bastare neanche questo, allora prendiamo sistemi sempre più grandi e che evitano le non inerzialità che vogliamo evitare… insomma, è un bel problema.

Sistemi non inerziali

Ma in cosa consiste la non inerzialità di un sistema? Consiste nel fatto che il moto degli oggetti nei sistemi non inerziali è affetto da accelerazioni e forze, dette fittizie o apparenti, che non dipendono dalla natura dell’oggetto, ma dalla natura del sistema che stiamo considerando. E questo è un problema, perché vuol dire che la natura delle leggi fisiche cambia da sistema a sistema, con l’aggiunta o la soppressione di termini che dipendono dal sistema di riferimento che stiamo considerando, per cui cadrebbe la condizione di universalità delle leggi fisiche, condizione necessaria per il metodo scientifico. Quindi è importante sapere cosa accade quando tentiamo di descrivere qualcosa in un sistema di riferimento non inerziale, in particolare quali effetti aggiuntivi dobbiamo considerare e quale sia la loro intensità, così da avere un’idea se possano essere trascurati o meno.

In quanto segue userò, come è necessario in scienza, un formalismo matematico di base, ma che comunque potrebbe risultare ostico per un lettore con minime conoscenze di algebra lineare e calcolo infinitesimale. In ogni caso, al di là delle formule, tenterò di spiegarne il significato, per avere un’idea di cosa sto scrivendo.

Ricerca delle Forze Fittizie

Incominciamo con il definire i nostri sistemi di riferimento:
chiamiamo $Oxyz$ un sistema di riferimento inerziale, che indicheremo anche come sistema assoluto, centrato in $O$ e con un sistema levogiro di assi ortogonali $x$ , $y$ e $z$ , di versori $\hat \imath$ , $\hat \jmath$ e $\hat k$ .

Indichiamo, inoltre, con $O'x'y'z'$ un sistema di riferimento generico, che chiameremo sistema non inerziale o sistema relativo, centrato in $O'$ e con un sistema levogiro di assi ortogonali $x'$ , $y'$ e $z'$ , di versori $\hat \imath'$ , $\hat \jmath'$ e $\hat k'$ e che si muova rispetto al primo con una velocità $\vec V$ , un’accelerazione $\vec A$ e che ruoti con velocità angolare $\vec \Omega$ intorno ad una direzione generica. Indicheremo la posizione dell’origine di questo sistema rispetto al precedente con $\vec r_{OO'}=\vec R$ .

Se un punto si trova nella posizione $\vec{r'}$ rispetto al sistema $O'x'y'z'$ , la posizione rispetto al sistema inerziale sarà semplicemente
$\vec r=\vec R + \vec{r'}$ .

Equazione delle Velocità.

Proviamo a derivare rispetto al tempo questa relazione per ottenere un’equazione per le velocità
$\vec v = \vec V + \vec{v'} + \vec \Omega \times \vec{r'}$ ,
dove $\vec v$ e $\vec{v'}$ sono, rispettivamente, la velocità rispetto al sistema inerziale e rispetto a quello non inerziale.

I termini $\vec{v'} + \vec \Omega \times \vec{r'}$ nascono dalla derivata di $\vec{r'}$ . Infatti il primo termine corrisponde alle derivate delle componenti nel sistema non inerziale mentre il secondo è dovuto al fatto che gli assi di questo sistema non sono fermi ma ruotano.

Leggiamo l’equazione delle velocità:
Un oggetto che si muove, visto da un sistema non inerziale, avrà una velocità, detta relativa al sistema $O'$ , composta da tre parti. Una parte, detta assoluta, corrisponde alla velocità dell’oggetto relativamente al sistema inerziale, $\vec v$ . Una seconda parte, detta di trascinamento, è dovuta al movimento del sistema relativo, la cui velocità, $\vec V$ , va a contribuire alla velocità relativa. Infine abbiamo il termine $\vec \Omega \times \vec{r'}$ , detto tangenziale, dovuto alla rotazione del sistema $O'$ .

Per capire meglio quest’ultimo termine, supponiamo di avere un pietra attaccata ad una corda e di rotearla. In questo caso possiamo considerare come sistema inerziale quello della Terra e come non inerziale quello centrato sulla nostra mano e con un asse sovrapposto alla corda, così che giri con lei. In questo caso la velocità relativa è nulla (la pietra sarà ferma sull’asse del sistema relativo), la velocità di trascinamento è nulla (l’origine non si muove, è fermo sulla nostra mano), quindi l’unico termine non nullo è quello tangenziale. Se la corda si spezza cosa accade? La pietra parte per la tangente con quella velocità. Capito perché si chiama tangenziale?

Equazione delle Accelerazioni.

Deriviamo ancora per ottenere un’equazione per le accelerazione e, quindi, per le forze:
$\vec a = \vec A + \vec{a'} + 2\vec \Omega \times \vec{v'}+\vec \Omega\times(\vec\Omega\times \vec {r'})$ ,
oppure, esplicitando l’accelerazione nel sistema di riferimento relativo:
$\vec{a'} = \vec{a} - \vec A - 2\vec \Omega \times \vec{v'}-\vec \Omega\times(\vec\Omega\times \vec {r'})$ .

Come prima, nuovi termini di prodotto vettoriale intervengono a causa della rotazione del sistema non inerziale.

Accelerazioni assoluta, relativa e di trascinamento

Ancora una volta, leggiamo l’equazione:
I termini $\vec a$ e $\vec{a'}$ , dette accelerazione assoluta e relativa, rispettivamente, sono l’accelerazione dell’oggetto nel sistema assoluto ed in quello relativo, rispettivamente. Anche qui abbiamo un termine dovuto al moto del sistema $O'$ , detta accelerazione di trascinamento, $\vec A$ . È questa accelerazione la causa della spinta in avanti o indietro nel caso di frenate o accelerate in auto.

Accelerazione centripeta/centrifuga

Ora vengono i termini più interessante. Partiamo dall’ultimo, $\vec \Omega\times(\vec\Omega\times \vec {r'})$ . Questa componente, senza segno meno, è detta accelerazione centripeta. Si può vedere che, se l’oggetto si muove su un arco di circonferenza, questo vettore è parallelo al vettore posizione rispetto al centro della circonferenza $\vec{r'}$ ma ha verso opposto, ossia diretto verso il centro della circonferenza. Se consideriamo anche il segno meno otteniamo l’accelerazione risentita dall’oggetto nel sistema di riferimento non inerziale a causa della rotazione di quest’ultimo. Questa è l’accelerazione centrifuga, ossia la responsabile della spinta di lato che avvertiamo in curva su un mezzo di trasporto.

Credo che la questione delle accelerazioni centripeta e centrifuga abbia bisogno di un chiarimento, perché a volte crea confusione. Riprendiamo l’esempio della pietra e della corda fatto precedentemente. Visto dal sistema assoluto dobbiamo usare la prima equazione delle accelerazioni, che si riduce a
$\vec a = \vec \Omega\times(\vec\Omega\times \vec {r'})$ ,
perché tutti gli altri termini sono nulli. Quindi abbiamo un’accelerazione centripeta ed una forza centripeta, corrispondente alla tensione della corda, che costringe la pietra a muoversi lungo una circonferenza e a non partire per la tangente. Ed è proprio questa tendenza a partire per la tangente che viene sentita, nel sistema non inerziale, come accelerazione centrifuga. In questo sistema, infatti, abbiamo la tensione della corda che va bilanciata con qualcosa, e questo qualcosa è la forza centrifuga.

Accelerazione di Coriolis

Ritornando all’equazione delle accelerazioni, infine, abbiamo il termine $2\vec \Omega \times \vec{v'}$ . Questo termine dipende sia dalla rotazione del sistema non inerziale sia dalla velocità relativa ed è detto accelerazione di Coriolis. Questa accelerazione non è semplice da spiegare, ma c’è un esempio che può aiutare. Supponiamo di essere su una giostra e di camminare dal centro verso l’esterno in linea retta. Siccome la giostra gira mentre camminiamo, in realtà, disegneremo su di essa una linea curva. La causa di questa curvatura è l’accelerazione di Coriolis ed è la causa, ad esempio, della rotazione del piano di oscillazione del pendolo di Foucault.

Inoltre questa immagine, che riproduce quanto detto, può aiutare

Esemplificazione dell’accelerazione di Coriolis. In alto il moto visto dal sistema assoluto, in basso dal sistema relativo. Fonte: Wikipedia

Riassumendo, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro non inerziale intervengono delle accelerazioni dovute ai moti del sistema relativo. Queste accelerazioni, che sono alla base delle cosiddette forze fittizie o apparenti, sono la causa di molti fenomeni che, in un sistema inerziale, non avrebbero luogo, facendo comparire nelle equazioni fisiche nuovi termini. È importante, quindi, nell’affrontare un problema, identificare il miglior sistema possibile, tenendo ben presente i contributi di forze fittizie nel caso consideriamo sistemi non inerziali.

Forze Fittizie: Cosa Sono e Che Effetti Hanno?